Question

函数f(x)=

2

sin(

π

4

-x)+4sin

x

2

cos

x

2

．
（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

3

5

，求f（A）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及函数的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可得f（x）=cosx+sinx，在△ABC中，cosA=-

3

5

⇒sinA=

1-cos2A

=

4

5

，于是可得f（A）的值；
（Ⅱ）由于f（x）=

2

sin（x+

π

4

），利用正弦函数的周期性与单调性即可求函数f（x）的最小正周期及函数的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

（

2

2

cosx-

2

2

sinx）+2sinx=cosx+sinx，
∵在△ABC中，cosA=-

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴f（A）=cosA+sinA=

1

5

；
（Ⅱ）∵f（x）=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，考查同角三角函数间的关系，属于中档题．