Question

向量

a

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

kπ

6

x)，k＞0．函数f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）若k=12，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

2

k

个单位得到函数g（x），如果函数g（x）在x∈（0，2014]上至少存在2014个最值点，求k的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积．利用k=12，通过正弦函数的单调减区间求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）通过将函数f（x）的图象向左平移

2

k

个单位得到函数g（x），利用一个周期有两个最值点，即可求解函数g（x）在x∈（0，2014]上至少存在2014个最值点，得到k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

kπ

6

x)，
∴f(x)=

a

•

b

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)•(

3

2

，cos

kπ

6

x)
=

3

2

sin

kπ

6

x+

1

2

cos

kπ

6

x=sin(

kπ

6

x+

π

6

)，
∴f(x)=sin(

kπ

6

x+

π

6

)，k=12时，f(x)=sin(2πx+

π

6

)
由2kπ+

π

2

≤2πx+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
可得kπ+

π

6

≤πx≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴k+

1

6

≤x≤k+

2

3

，k∈Z
∴函数f（x）的减区间为[k+

1

6

，k+

2

3

]．k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

2

k

个单位得到函数g(x)=sin(

kπ

6

x+

kπ

6

×

2

k

+

π

6

)=cos

kπ

6

x，
即g(x)=cos

kπ

6

x，
∴g（x）的周期为T=

12

k

，每一个周期有两个最值点，
∴x∈（0，2014]上至少有1007个周期，

12

k

×1007≤2014，k≥6，
∴k的最小值为6．

点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的单调减区间的求法，三角函数的图象与性质，基本性质的综合应用．