Question

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

15

，b=4，求边c的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用内角和定理及诱导公式变形，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值即可．

解答： 解：（1）利用正弦定理化简acosC+

1

2

c=b，得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，即

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵a=

15

，b=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，15=16+c²-4c，即c²-4c+1=0，
解得：c=

4± 12

2

=2±

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．