Question

如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；                               
（2）若PA=AB=AD=2，求二面角N-AB-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点Q，连接MQ，NQ，由已知条件推导出CD⊥NQ，CD⊥MQ，由此能证明MN⊥CD．
（2）由已知条件推导出∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角，由此能求出二面角N-AB-C的大小．

解答： （1）证明：如图，取CD的中点Q，连接MQ，NQ，
则NQ∥CD，MQ∥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD，
∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ，①
又∵MQ∥AD，CD⊥AD，∴CD⊥MQ，②，
由①②且MQ∩NQ=Q，∴CD⊥平面MNQ，
∵MN?平面MNQ，∴MN⊥CD．（5分）
（2）解：∵M，N分别为A降CD的中点，又M为AB的中点，
∴MQ⊥AB，又MN⊥AB，
∴∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角，
由（1）知AN=

1

2

PC=

1

2

PA2+AC2

=

3

，
∴MN=

AN2-AM2

=

2

，
又NQ=

1

2

PD=

2

，MQ=AD=2，
∴∠NMQ=45°，
∴二面角N-AB-C的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．