Question

已知三棱锥P-ABC中，E．F分别是AC．AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，可得PA⊥PC，进而可证明AB⊥面PCF，从而可得AB⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证
（II）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可

解答： （Ⅰ）证明：连结CF．
∵△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，
∴PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，CF∩PF=F，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∵AB∩AP=A，
∴PC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC为所求二面角的平面角．
设AB=a，则AB=a，
Rt△PEF中，PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a．
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．

点评：本小题主要考查空间线面垂直的关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．