Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（1）求二面角B-EC-A的正弦值；
（2）在线段BC上是否存在点F，使得E到平面PAF的距离为

2 5

5

？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意及正方形的特点，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到线面垂直．过A作AH⊥BG于H，连接HE、AE，则∠AHE为二面角B-EC-A的平面角，求出AH，AE，即可求二面角B-EC-A的正弦值；
（2）设存在点F满足题意，过D作DM⊥AF于M，连PF，则DM⊥面APF，求出AF，可得BF，即可得出结论．

解答： 解．（1）取PA中点G，连接EG、BG，
∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD．
过A作AH⊥BG于H，连接HE、AE．  
∵BC⊥面PAB，∴AH⊥面GBCE
∵底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点
∴CE=

6

，AE=

2

，AC=2

2

，
∴AE⊥EC，
∴HE⊥EC
∴∠AHE为二面角B-EC-A的平面角，
∵AG=1，AB=2，
∴BG=

5

，
∴由等面积，可得AH=

AB•AG

BG

=

2 5

5

，
∵AE=

2

∴在Rt△AHE中，sin∠AEH=

AH

AE

=

2 5 5

2

=

10

5

，
∴二面角B-EC-A的正弦值为

10

5

；
（2）设存在点F满足题意，过D作DM⊥AF于M，连PF，则DM⊥面APF．
∵E为PD为中点，E到面PAF距离为

2 5

5

∴DM=

4 5

5

，由平面几何知识知△DAM∽△AFB，求得AF=

5

∴BF=1，F为BC中点，
∴存在满足题意的点F．

点评：本题重点考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质，考查了利用三垂线定理求解出二面角的平面角，考查学生的计算能力，属于中档题．