Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD； 
（2）若二面角M-QB-C为30°，试确定点M的位置．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）由AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD；由此能够证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．

解答： （1）证明：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．             …（5分）
（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为

n

=(0，0，1)；Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)．
设M（x，y，z），则

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，…（6分）
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

…（9分）
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
∴平面MBQ法向量为

m

=(

3

，0，t)．                   …（10分）
∵二面角M-BQ-C为30°，
∴cos30°=

n • m

| n || m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3，
即M是PC的四等分点．                                    …（12分）

点评：本题考查与二面角有关的立体几何证明题，考查了二面角的求法，面面垂直的证明方法．解题的关键是熟练掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步骤，面面垂直的相关定理定义等．