Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为

2

，底面是边长为1的正三角形，∠A₁AB=∠A₁AC=45°．
（Ⅰ）求异面直线AA₁与BC所成的角；
（Ⅱ）求此棱柱的表面积和体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H．过H作HD⊥AB，连A₁D，通过三角形全等，说明H在∠CAB平分线AE上，然后推出异面直线AA₁与BC所成的角；
（Ⅱ）利用第一问的结果，直接求解此棱柱的表面积和体积．

解答： 解：（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H．
过H作HD⊥AB，连A₁D则A₁D⊥AB
作HF⊥AC，连结A₁F则A₁F⊥AC，又∠A₁AB=∠A₁AC=45°
∴Rt△DAA₁≌Rt△FAA₁，∴AD=AF∴Rt△ADH≌Rt△FAH
所以H在∠CAB平分线AE上，由△ABC为正三角形，
∴BC⊥AE⇒BC⊥AA₁
异面直线AA₁与BC所成角为90°；-------------（7分）
（未证明H在∠CAB平分线AE上，扣3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在直角三角形A₁AD中，计算得A₁D=AD=1，
在Rt△ADH中，计算得DH=

3

3

在Rt△A₁DH中，计算得A1H=

6

3

，
∴S=2S△ABC+SBCC1B1=

3

2

+2+

2

．
V=S_△ABC•A₁H=

3

4

×=

2

4

---------------------（14分）

点评：本题考查异面直线所成角的求法，几何体的体积与部门决定求法，考查空间想象能力以及计算能力．