Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=

10

．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小为60°，求AP的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E，证明∠BOC=90°，可得AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，利用线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH，可得∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，在Rt△PAC中，

PA

PC

=

OH

OC

，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角A-PC-D的大小为60°，可求AP的值．

解答： （Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．
由四边形ABCD是等腰梯形得CE=

BC-AD

2

=1，DE=

DC2-CE2

=3，
所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，
所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．
由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，
因为AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．                 …（7分）
（Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．
由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．
所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．
故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，
所以∠DHO=60°．
在Rt△DOH中，由DO=

2

，得OH=

6

3

．
在Rt△PAC中，

PA

PC

=

OH

OC

．
设PA=x，可得

x

x2+18

=

3

6

．
解得x=

3 22

11

，即AP=

3 22

11

．                   …（15分）
方法二：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，-

2

，1），B（2

2

，0，0），C（0，2

2

，0），D（-

2

，0，0）．
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，
故设点P（0，-

2

，t） （t＞0）．
设

m

=（x，y，z）为平面PDC的法向量，
由

CD

=（-

2

，-2

2

，0），

PD

=（-

2

，

2

，-t） 知

- 2 x-2 2 y=0 - 2 x+ 2 y-tz=0

取y=1，得

m

=（-2，1，

3 2

t

）．
又平面PAC的法向量为

n

=（1，0，0），于是
|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

2

5+ 18 t2

=

1

2

．
解得t=

3 22

11

，即AP=

3 22

11

．                  …（15分）

点评：本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．