Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE，∠DCB=45°，O是BC的中点，AO=

3

，且BC=6，AD=AE=2CD=2

2

，
（1）证明：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明：AO⊥平面BCD；
（2）先求二面角A-CD-B的平面角，然后利用向量法或者定义直接求二面角的正切值．

解答： 解：（1）易知OC=3，AD=2

2

，连结OD，OE，在三角形OCD中．
由余弦定理可得OD=

OC2+CD2-2OC?CDcos?45?

=

5

，
∵AD=2

2

，
∴AO²+OD²=AD²，∴AO⊥OD，
同理可证：AO⊥OE，
又OD∩OE=0，0D?平面BCD，OE?面BCD，
∴AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，建立空间直角坐标系o-xyz如图，
则A（0，0，

3

），C（0，-3，0），D（1，-2，0），
∴

CA

=(0，3，

3

)，

DA

=(-1，2，

3

)，
设

m

=(x，y，z)为平面ACD的一个法向量，
则

m ? CA =0 m ? DA =0

，
即

3y+ 3 z=0 -x+2y+ 3 =0

解得

y=-x z= 3 x

，
令x=1，则

m

=(1，-1，

3

)，
由（1）知，

OA

=（0，0，

3

）是平面CDB的一个法向量，
∴cos?＜

m

，

OA

＞=

m ? OA

| OA || m |

=

3

3 ? 5

=

15

5

，
由二面角A-CD-B为锐二面角，
∴二面角A-CD-B的平面角的正切值为

6

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角的大小的计算，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．