Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求证：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一点M（不包含端点P，B）使得二面角C-AM-B为直二面角，若存在求出PM的长，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）取CD的中点O，连结PO，OA，由△PCD为正三角形，推导出△ACD是正三角形，由此能证明AO⊥CD．
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，M（a，b，c），

PM

=λ

PB

，求出M（-3λ，2

3

λ，

3

-

3

λ），利用向量法求出λ=

1

5

，由此能求出PM的长．

解答： （1）证明：取CD的中点O，连结PO，OA，
∵△PCD为正三角形，
∴PO⊥CD，∵AD=CD=2，
∴△ACD是正三角形，
∴AO⊥CD．
（2）解：∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，PO⊥CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，
底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4，
∴D(1，0，0)，C(-1，0，0)，A（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），B（-3，2

3

，0），设M（a，b，c），

PM

=λ

PB

，即（a，b，c-

3

）=λ（-3，2

3

，-

3

），
∴a=-3λ，b=2

3

λ，c=

3

-

3

λ，∴M（-3λ，2

3

λ，

3

-

3

λ），
∴

AM

=(-3λ，2

3

λ-

3

，

3

-

3

λ)，

CM

=(-3λ+1，2

3

λ，

3

-

3

λ)，

AB

=(-3，

3

，0)，
设平面CAM的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m

•

AM

=0，

m

•

CM

=0，
∴

-3λx+(2 3 λ- 3 )y+( 3 - 3 λ)z=0 (-3λ+1)x+2 3 λy+( 3 - 3 λ)z=0

，
取z=0，y=

3

，得x=2-

1

λ

=-

6λ

-3λ+1

，
解得λ=

1

5

，∴

m

=（2-

1

λ

，

3

，0），
∵设平面ABM的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
则

n

•

AM

=0，

n

•

AB

=0，
∴

-3λx1+(2 3 λ- 3 )y1+( 3 - 3 λ)z1=0 -3x1+ 3 y1=0

，
∴

n

=（1，

3

，

3 λ- 3

1-λ

），
∵二面角C-AM-B为直二面角，
∴

m

•

n

=2-

1

λ

+3+0=0，
解得λ=

1

5

∵P（0，0，

3

），B（-3，2

3

，0），
∴|

PM

|=

1

5

|

PB

|=

1

5

9+12+3

=

2 6

5

．
∴PM的长为

2 6

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，综合性强，难度较大，解题时要注意向量法的合理运用．