Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，利用三角形的中位线定理，推导出OD∥B₁C，由此能够证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，
∴ABB₁A₁是正方形，∴O是AB₁的中点，
∵D是AC的中点，∴OD是△ACB₁的中位线，∴OD∥B₁C，
∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，
以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），
D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，2

2

，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
设平面A₁BD的法向量

m

=(x，y，z)，则

m

•

DA1

=0，

m

•

DB

=0，
∴

-x+3z=0 2 2 y=0

，∴

m

=（3，0，1），
设平面B₁BD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），则

n

•

DB1

=0，

n

•

DB

=0，
∴

2 2 y1+3z1=0 2 2 y1=0

，∴

n

=（1，0，0），
设二面角A₁-BD-B₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

10

|=

3 10

10

．
∴二面角A₁-BD-B₁的余弦值为

3 10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．