Question

已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β），其中α、β为常数，且满足0＜α＜β＜π．对于任意实数x，是否存在α、β，使得f（x）是与x无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：若存在α、β，使得f（x）是与x无关的定值，则f（x）为常数，利用三角函数的和差化积公式将函数进行化简即可得到结论．

解答： 解：f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）=

1

2

[1+cos2x]+

1

2

[1+cos2（x+α）]+

1

2

[1+cos2（x+β）]
=

3

2

+

1

2

[cos2x+cos2（x+α）+cos2（x+β）]
=

3

2

+

1

2

[cos2x+2cos（2x+α+β）cos（α-β）]
要使f（x）的值不随x的变化而变化，则：
cos2x和2cos（2x+α+β）cos（α-β）中必含有cos2x这个公因子，
且提取出这个公因子后，其系数为0
若cos（2x+α+β）=|cos2x|，
又0≤α＜β≤π，
∴α+β=π 
即cos（2x+α+β）=-cos2x，
此时f（x）=

3

2

+

1

2

[cos2x-2cos2xcos（α-β）]=

3

2

+

1

2

cos2x[1-2cos（α-β）]，
即-2cos（α-β）=-1，
∴cos（α-β）=

1

2

，
即β-α=

π

3

，
∴α=

π

3

，β=

2π

3

．

点评：本题主要考查三角函数的化简与求值，根据三角函数的和差化积公式是解决本题的关键，综合考查学生的计算能力．