Question

设公比大于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）满足b_n＞

λ

an

对所有的n∈N^*均成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的前n项和公式能求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由b₁=1，Tn=n2bn，求出T_n-1，由此利用累乘法能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，则cn=

2n

n(n+1)

，由此能求出λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵公比大于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，
即S₄=5S₂，q＞0，
∴

1-q4

1-q

=5×

1-q2

1-q

，
解得q=2，an=2n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
∴

Tn=n2bn Tn-1=(n-1)2bn-1

，
∴

bn

bn-1

=

n-1

n+1

（n＞1），
∴

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•

bn-2

bn-3

•…•

b2

b1

=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

=

2

n(n+1)

∴bn=

2

n(n+1)

，
当n=1时也满足．
∴bn=

2

n(n+1)

．
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，则cn=

2n

n(n+1)

，
cn+1-cn=

2n+1

(n+1)(n+2)

-

2n

n(n+1)

=

2n+1n-2n(n+2)

n(n+1)(n+2)

=

2n(n-2)

n(n+1)(n+2)

，
即c₁＞c₂=c₃＜c₄＜c₅＜…
当n=2或3时，c_n的最小值是

2

3

．
∴λ＜

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．