Question

已知函数f（x）=|x-1|+2|x-a|（a＞1）
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤5；
（2）若f（x）≥5恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+2|x-2|，对x分类讨论，即可解不等式f（x）≤5；
（2）对x分类讨论，求出f（x）的最小值，利用f（x）≥5恒成立，可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+2|x-2|．
当x＜1时，-x+1-2x+4≤5，∴x≥0，∴0≤x＜1；
当1≤x≤2时，x-1-2x+4≤5，∴x≥-2，∴1≤x≤2；
当x＞2时，x-1+2x-4≤5，∴x≤

10

3

，∴2＜x≤

10

3

，
∴不等式的解集为{x|0≤x≤

10

3

}；
（2）当x＜1时，f（x）=-x+1-2x+2a=-3x+2a+1＞2a-2；
当1≤x≤a时，f（x）=x-1-2x+2a=-x+2a-1，∴a-1≤f（x）≤2a-2；
当x＞a时，f（x）=x-1+2x-2a=3x-2a-1＞a-1，
∵f（x）≥5恒成立，
∴a-1≥5，
∴a≥6．

点评：本题考查绝对值不等式，考查恒成立问题，考查分类讨论是数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．