Question

在△ABC中，cosA=

2 5

5

，tanB=

1

3

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而求出tanA的值，利用诱导公式及两角和与差的正切函数公式表示出tanC，将tanA与tanB的值代入求出tanC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）由外接圆半径及sinA，sinB的值，利用正弦定理求出a与b的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

2 5

5

，0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∴tanA=

sinA

cosA

=

1

2

，
∵tanB=

sinB

cosB

=

1

3

＞0，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，
∴C=

3π

4

；
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，以及R=1，得a=2RsinA=

2 5

5

，b=2RsinB=

10

5

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

2 5

5

×

10

5

×

2

2

=

1

5

．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．