Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（2）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意，可先假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，z₀），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，利用法向量与直线DP的方向向量数量积为0，由此方程解出z₀的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．
（2）由题设条件，可求二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°，建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长．

解答： 解：（1）分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，z₀）使得DP∥平面B₁AE．此时

DP

=(0，-1，z0)
又设AB的长度为a，平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，则

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

，
得

ax+z=0 ax 2 +y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一个法向量

n

=(1，

-a

2

，-a)…（3分）
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，有

a

2

-az0=0，解得z0=

1

2

又DP?平面B₁AE，∴存在点P，满足DP∥平面B₁AE，此时AP=

1

2

．…（6分）
（2）连接A₁D，B₁C，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1得AD₁⊥A₁D
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C
又由（1）知B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁，
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一个法向量，此时

AD1

=(0，1，1)…（9分）
设

AD1

与

n

所成的角为θ，则cosθ=

n • AD1

| n |•| AD1 |

=

- a 2 -a

2 • 1+ a2 4 +a2

∵二面角A-B₁E-A₁的大小为30°
∴|cosθ|=cos30°，即

3a 2

2 • 1+ 5a2 4

=

3

2

，解得a=2，即AB的长为2．…（13分）

点评：本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应．