Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）求异面直线D₁E与A₁D所成角．
（2）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证明

DA1

•

D1E

=0，可求异面直线D₁E与A₁D所成角；
（2）D做DG垂直CE于G，连接D₁G，则∠D₁GD为二面角D₁-EC-D的平面角，求出BE，即可求出AE．

解答： 解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AE=x，则D（0，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0）．
∴

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1），
∴

DA1

•

D1E

=0，
∴异面直线D₁E与A₁D所成角为

π

2

（2）过D做DG垂直CE于G，连接D₁G，则∠D₁GD为二面角D₁-EC-D的平面角，
由题意得，∵二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

，
∴∠D₁GD=

π

4

，
∴D₁D=DG=1，
∵Rt△DGC≌Rt△CEB，
∴BE=GC=

3

，
从而AE=2-

3

．

点评：本题考查空间角，考查向量法的运用，考查学生的计算能力，正确作出面面角是关键．