Question

若x∈[1，+∞），不等式（m-m²）2^x+4^x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行参数分离，利用换元法将函数进行转换，利用y=t+

1

t

的单调性即可得到结论．

解答： 解：不等式（m-m²）2^x+4^x+1＞0恒成立，等价为不等式4^x+1＞（m²-m）2^x恒成立，
即m2-m＜

4x+1

2x

=2x+

1

2x

，
设t=2^x，当x∈[1，+∞）时，t∈[2，+∞），
∵y=2x+

1

2x

=t+

1

t

在[2，+∞）上单调递增，
∴y的最小值为2+

1

2

=

5

2

，
∴要使m2-m＜

4x+1

2x

=2x+

1

2x

恒成立，
则m2-m＜

5

2

，
即2m²-2m-5＜0，
解得

1- 11

2

＜m＜

1+ 11

2

，
即实数m的取值范围是(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)，
故答案为：(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键，注意使用换元法将函数转化为y=t+

1

t

形式，利用此类函数的单调性是解决本题的突破．