Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点(

2

，0)，(-

2

，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）线段AB的长是3，求实数k；
（2）（理）若点A在第四象限，当k＜0时，判断|

OA

|与|

OB

|的大小，并证明．
     （文）求证：

OA

•

OB

＜0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的定义

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(

2

，0)，(-

2

，0)为焦点，长半轴为2的椭圆，可得椭圆方程，直线方程与椭圆方程联立，利用线段AB的长是3，结合弦长公式，即可求实数k；
（2）（理）利用韦达定理，证明

|OA|

2-

|OB|

2＞0，即可；
（文）利用向量的数量积公式，结合韦达定理，即可证明结论．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(

2

，0)，(-

2

，0)为焦点，长半轴为2的椭圆，
故曲线C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．                                        4分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2 4 + y2 2 =1 y=kx+1

消去y并整理得（1+2k²）x²+4kx-2=0，5分
则△=32k²+8，6分
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

32k2+8

1+2k2

，8分
∴

1+k2

•

32k2+8

1+2k2

=3，
∴k2=

1

2

，
∴k=±

2

2

9分
（2）（理）

|OA|

＞

|OB|

10分
证明如下：

|OA|

2-

|OB|

2=

x

2 1

+

y

2 1

-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x12-x22+2(1-

1

4

x12-1+

1

4

x22)
=

1

2

(x12-x22)=

1

2

(x1-x2)(x1+x2)=

-2k

1+2k2

(x1-x2)12分
∵A在第四象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

2

1+2k2

知x₂＜0，
从而x₁-x₂＞0．又k＜0，13分
故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，即在题设条件下，恒有

|OA|

＞

|OB|

14分．
（文）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-2k2-2

1+2k2

+

-4k2

1+2k2

+1=

-4k2-1

1+2k2

＜0

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．