Question

已知双曲线C：

x2

m

-y2=1(m＞0)，A．B两点分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|=2

m

，又点P为AB的中点．
（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；
（2）若不同三点D（-2，0）、S、T 均在点P的轨迹上，且

DS

•

ST

=0； 求T点横坐标x_T的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出A，B的坐标，利用点P为AB的中点，确定坐标之间的关系，根据|AB|=2

m

，建立方程，化简，即可求点P的轨迹方程．
（2）直线DS、ST分别代入椭圆方程，求出T点横坐标，利用基本不等式，即可求T点横坐标x_T的取值范围．

解答： 解：（1）双曲线渐近线为y=

x

m

与y=-

x

m

．
所以设A(xA，

xA

m

)，B(xB，-

xB

m

)，
所以xP=

xA+xB

2

，yP=

xA-xB

2 m

，
又|AB|=2

m

，
所以点P的轨迹方程为

x2

m2

+y2=1，
所以m=1时P的轨迹为圆；m＞1时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；0＜m＜1时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；（6分）
（2）把D（-2，0）代入

x2

m2

+y2=1，得P的轨迹的

x2

4

+y2=1…①
设直线DS为y=k（x+2）…②
联立①②得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
设点S（x₁，y₁），有xD+x1=

-16k2

1+4k2

，
所以x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=

4k

1+4k2

则直线ST为y=-

1

k

(x-x1)+y1
化简为：y=-

x

k

+

2-4k2

k(1+4k2)

③
联立①，③得(1+

4

k2

)x2+

32k2-16

k2(1+4k2)

x+

4(2-4k2)2

k2(1+4k2)2

-4=0，
所以x1+xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

，
所以xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

-

2-8k2

1+4k2

=

8k4-2k2+8

4k4+17k2+4

=2-

36k2

4k4+17k2+4

（ 因为三点不同，易知k≠0）
=2-

36k2

4k4+17k2+4

=

36

4(k2+ 1 k2 )+17

≥2-

36

25

=

14

25

所以x_T的取值范围为[

14

25

，2)…（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．