Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=

3

a，求：
（1）二面角P-BD-A的大小；
（2）点A到平面PBD的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BD中点M，由题设条件推导出∠PMA为二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的大小．
（2）设A到平面PBD的距离为h，由V_A-PBD=V_P-ABD，用等积法能求出A到平面PBD的距离．

解答： （1）解：如图，取BD中点M，
∵M为菱形中心，∴AM⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴由三垂线定理，得PM⊥BD，
∴∠PMA为二面角P-BD-A的平面角．
∵ABCD是边长为2a的菱形，∴AB=AD，
又∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴AM=2acos30°=

3

a．
又∵△PAM为直角三角形，PA=

3

a，所以tan∠PMA=

PA

AM

=1，
∴二面角P-BD-A的大小为45°．
（2）解：设A到平面PBD的距离为h，
∵V_A-PBD=V_P-ABD，
∴S△ABD•PA•

1

3

=S△PBD•h•

1

3

，
S△ABD=

1

2

BD•AM=

3

a²，PA=

3

a，
∵AB=AD，PA⊥平面ABCD，∴PB=PD．
在△PBD中，DM=a，PD=

PA2+AD2

=

7

a，
∴PM=

6

a，∴S△PBD=

1

2

BD•PM=

6

a²．
∴

3

a²•2a=

6

a²•h，
解得h=

2

a．
∴A到平面PBD的距离为

2

a．

点评：本题考查二面角大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意等积法的合理运用．