Question

下列说法：
①命题“若x＞0，则2^x＞1”的否命题是“若x≤0，则2^x≤1”；
②关于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
其中正确的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①根据四种命题之间的关系即可得出．
②关于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，利用基本不等式即可得出sin2x+

1

sin2x

≥1，进而得出a的取值范围．
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数?f（-x）+f（x）=0（x≠0）?alog₂|x|+b=0对于任意x≠0恒成立，可得a=b=0，进而得出．

解答： 解：①根据四种命题之间的关系可得：命题“若x＞0，则2^x＞1”的否命题是“若x≤0，则2^x≤1”，因此正确；
②关于x的不等式a＜sin2x+

1

sin2x

恒成立，又∵sin2x+

1

sin2x

≥1，当且仅当sinx=±1时取等号，
∴a＜1，可得a的取值范围是a＜1，因此②不正确；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数?f（-x）+f（x）=0（x≠0）?alog₂|x|+b=0对于任意x≠0恒成立，∴a=b=0，可得：a+b=0是函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数必要但不充分条件，因此不正确．
综上可知：只有①正确．
故选：C．

点评：本题综合考查了四种命题之间的关系、基本不等式、函数的奇偶性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．