Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD和BDMN都是矩形，且MD⊥平面ABCD，P是MN的中点．若AB=4，BC=3，MD=1，
（Ⅰ）求证：DP∥平面ANC；
（Ⅱ）求二面角N-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接NO，由题设条件推导出四边形PNOD是平行四边形，由此能证明DP∥平面ANC．
（Ⅱ）法一：作BH垂直于AC于H连接NH，由题设条件推导出∠NHB是二面角N-AC-B的平面角，由此能求出二面角N-AC-B的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角N-AC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接NO，…（1分）
∵四边形ABCD，BDMN都是矩形，
∴O是BD的中点，又P是MN的中点，∴PN∥DO
∴四边形PNOD是平行四边形，∴DP∥ON，…（2分）
又DP?平面ANC，NO?平面ANC
∴DP∥平面ANC．…（4分）
（Ⅱ）解法一：作BH垂直于AC于H连接NH，…（6分）
∵MD⊥平面ABCD，DM∥NB，∴NH⊥平面ABCD，
由三垂线定理得：NH⊥AC，…（8分）
∴∠NHB是二面角N-AC-B的平面角，…（9分）
在RT△NBH中，NB=1，BH=

AB•BC

AC

=

12

5

，NH=

NB2+BH2

=

13

5

，…（11分）
∴COS∠NHB=

BH

NH

=

12

13

，
∴二面角N-AC-B的余弦值为

12

13

…（12分）
解法二：建立如图所示的坐标系，
则由题意知：A（3，0，0），C（0，4，0），N（3，4，1），…（7分）
设

n

=(1，x，y)是平面ANC的一个法向量，
又

AC

=(-3，4，0)，

AN

=(0，4，1)
则

n • AC =-3+4x=0 n• AN =4x+y=0

，
解得：

x= 3 4 y=-3

∴

n

=(1，

3

4

，-3)…（9分）
又

m

=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，…（10分）
设二面角N-AC-B的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

12

13

，
∴二面角N-AC-B的余弦值为

12

13

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．