Question

如图，四棱锥E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出BC⊥平面EAB，BC⊥EA，BF⊥EA，从而得到EA⊥平面EBC，由此能够证明EA⊥BE．
（2）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，∴BF⊥EA，
又∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，∴EA⊥BE．
（2）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，
如图建立空间直角坐标系，
则由题意知E（

2

，0，0），C（0，

2

，2），D（0，-

2

，2），
∴

OE

=(

2

，0，0)，

CD

=(0，-2

2

，0)，

DE

=（

2

，

2

，-2），
由题意

OE

=(

2

，0，0)是平面ACD的一个法向量，
设平面ECD的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • DE =0 m • CD =0

，
∴

2 x+ 2 y-2z=0 -2 2 y=0

，∴

m

=(

2

，0，1)
设二面角A-CD-E的平面角的大小为θ，由图得0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=|cos＜

OE

，

m

＞|=|

2

2 × 3

|=

6

3

．
所以二面角A-CD-E的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查异面直线的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．