Question

已知函数f（x）=（2-x）e^x，g（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，求证：当a≥-3时，一定存在x₁、x₂∈[0，5]，使得f（x₁）-g（x₂）≥0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用导数求函数f（x）和g（x）在[0，5]上的最值，只要证明f（x）_max≥g（x）_max．即可得到证明结论．

解答： 解：∵f（x）=（2-x）e^x，
∴f'（x）=-xe^x+（2-x）e^x=（2-2x）e^x，
由f'（x）＜0得x＞1，此时函数单调递增，
由f'（x）＞0得x＜1，此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数取得最大值f（1）=e，
∴当x∈[0，5]时，函数取得最大值f（1）=e．
∵g（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
∴g'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x=[x²+（a+2）x-a-3]e^x=（x-1）（x+a+3）e^x，
由g'（x）=（x-1）（x+a+3）e^x=0，
得x=1或x=-a-3，
∵a≥-3，
∴-a-3≤0，
∴当1≤x≤5时，g'（x）≥0此时函数单调递增，
当0≤x≤1时，g'（x）≤0此时函数单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值为g（1）=（-a-2）e．
即函数g（x）在[0，5]上的最小值为g（1）=（-a-2）e．
∵当x∈[0，5]，f（x）≤e，g（x）≥（-a-2）e．
∴当a≥-3时，（-a-2）e≤e，
即f（x）_max≥g（x）_max．
即当a≥-3时，一定存在x₁、x₂∈[0，5]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₂）≥0．成立．

点评：本题主要考查函数最值和函数导数之间的关系，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键，将不等式f（x₁）-g（x₂）≥0．转化为求f（x）_max≥g（x）_max．是解决本题的突破点．