Question

已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²恒成立，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：法一：通过因式分解，原不等式可化简为x²-x-（a+b）＞0，问题可化为x²-x＞（a+b）_max；法二：构造函数h（t）=-t²+（x²-x）t，由题意可知h（t）=-t²+（x²-x）t在（0，1）单调递增，借助二次函数的性质可得关于x的不等式．

解答： 解法一：化简ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²，
得（a-b）x²-（a-b）x-（a²-b²）＞0，
∵a＞b，∴x²-x-（a+b）＞0，
又a，b∈（0，1），∴x²-x≥2，解得x≤-1或x≥2．
故答案为：x≤-1或x≥2．
法二：ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²可化为a（x²-x）-a²＞b（x²-x）-b²，
令h（t）=-t²+（x²-x）t，
∵对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax²-ax-a²＞bx²-bx-b²恒成立，
∴h（t）=-t²+（x²-x）t在（0，1）单调递增，
∴对称轴t=

x2-x

2

≥1，解得x≤-1或x≥2，
故答案为：x≤-1或x≥2．

点评：本题考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，法一转化为了函数最值解决，而法二则通过构造函数转化为函数的单调性处理，细心观察式子的特点并能合理转化是解题关键．