Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=

2

AB，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BED与平面SBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．

解答： （1）证明：∵SD⊥底面ABCD，SD?平面SAD，
∴平面SAD⊥平面ABCD…（2分）
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCDAD，
∴AB⊥平面SAD，
又DE?平面SAD，
∴DE⊥AB，…（4分）
∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，DE⊥AB，DE⊥SA，
∴DE⊥平面SAB，
∵DE?平面BED，
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）
（2）解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设AD=2．
则D（0，0，0），A（2，0，0），B(2，

2

，0)，C(0，

2

，0)，S（0，0，2），E（1，0，1），
∴

DB

=(2，

2

，0)，

DE

=(1，0，1)，

CB

=(2，0，0)，

CS

=(0，-

2

，2)…（8分）
设

m

=(x1，y1，z1)是平面BED的法向量，则

m • DB =0 m • DE =0

，即

2x1+ 2 y1=0 x1+z1=0

，
令x₁=-1，则y1=

2

，z1=1，
∴

m

=(-1，

2

，1)是平面BED的一个法向量．
设

n

=(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，则

n • CB =0 n • CS =0

，即

2x2=0 - 2 y2+2z2=0

，
解得x₂=0，令y2=

2

，则z₂=1，
∴

n

=(0，

2

，1)是平面SBC的一个法向量．…（10分）
∵cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

2 3

=

3

2

，
∴平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为

π

6

．…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．