Question

若函数f(x)=x+

b

x

  (b∈R)的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（　　）

• A、（-2，0）
• B、（0，1）
• C、（1，+∞）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．

解答： 解：∵函数f(x)=x+

b

x

  (b∈R)
∴f ′(x)=1-

b

x2

∵函数f(x)=x+

b

x

  (b∈R)的导函数在区间（1，2）上有零点
∴当1-

b

x2

=0时，b=x²，x∈（1，2）
∴b∈（1，4）
令f'（x）＞0 得到x＜-

b

或x＞

b

即f（x）的单调增区间为（-∞，-

b

），（

b

，+∞）
∵b∈（1，4）
∴（-∞，-2）适合题意
故选D

点评：本题在研究了b的取值范围后，得到了函数f（x）的单调增区间，在选择选项时，要注意选择恒成立的选项．