Question

把曲线C：y=sin(

7π

8

-x)•cos(x+

π

8

)的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′的图象，且曲线C′的图象关于直线x=

π

4

对称，当x∈[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的斜率恒大于零，则b的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简曲线C的解析式为y=

1

2

sin（2x+

π

4

），可得曲线C′的解析式，再根据图象曲线C′的关于直线x=

π

4

对称，求得a=

π

8

，故曲线C′的解析式为 y=

1

2

sin2x．由题意可得，[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]是y=

1

2

sin2x的一个增区间，而函数 y=

1

2

sin2x的增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z，由此求得正整数b的值．

解答： 解：曲线C：y=sin(

7π

8

-x)•cos(x+

π

8

)=sin（x+

π

8

）cos(x+

π

8

)=

1

2

sin（2x+

π

4

），
把它的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到y=

1

2

sin[2（x-a）+

π

4

]=

1

2

sin（2x-2a+

π

4

）的图象，
故曲线C′的解析式为 y=

1

2

sin（2x-2a+

π

4

）．
再根据图象曲线C′的关于直线x=

π

4

对称，可得 2×

π

4

-2a+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z．
故可取a=

π

8

，故曲线C′的解析式为 y=

1

2

sin2x．
由题意可得，[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]是y=

1

2

sin2x的一个增区间，
而由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，
故函数 y=

1

2

sin2x的增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z．
∴kπ-

π

4

≤

2b+1

8

π，且

3b+2

8

π≤kπ+

π

4

，k∈z．
再根据b为正整数，可得b=1，
故选：A．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性、单调性，属于中档题．