Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形ABCD是等腰梯形，进而推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题设条件推导出∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，由此能求出二面角B-EF-D的平面角余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，
∴四边形ABCD是等腰梯形，…（2分）
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，
∴AC⊥BC．…（4分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE．…（6分）
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，
∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．
∴DE=DF，∴DG⊥EF，…（8分）
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，
∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．…（10分）
在△BDE中，DE=

2

a，DB=

3

a，BE=

AE2+AB2

=

5

a，
∴BE²=DE²+DB²，∴∠EDB=90°，
∴DH=

5

2

a，又DG=

5

2

a，GH=

2

2

a，…（12分）
∴在△DGH中，由余弦定理得
cos∠DGH=

10

10

，
∴二面角B-EF-D的平面角余弦值为

10

10

．…（14分）
（注：若用空间向量解答，则酌情给分．）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．