Question

在直角梯形EFCB中，EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，∠BEF=90°，点A是平面BEF外一点，AE⊥面BCFE，且AE=BE，若G、M分别是BC、AG的中点，
（1）求证：AE∥平面BMF；
（2）求二面角G-MF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接BF、GE，BF∩GE=0，连接OM，证明OM∥AE，由线面平行的判定定理可证AE∥平面BMF；
（2）利用面积射影法，求出S_△MFC、S_△OGC，即可求出二面角G-MF-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：连接BF、GE，BF∩GE=0，连接OM，
∵EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，G是BC的中点，∠BEF=90°，
∴四边形EFGB为正方形，∠BFG=∠GFC=45°，
∴CF⊥BF，
∴O是EG的中点，
∵M是AG的中点，
∴OM∥AE，
∵AE?平面BMF，OM?平面BMF，
∴AE∥平面BMF；
（2）解：在△ABG中，cos∠AGB=

BG

AG

=

2

2 3

=

3

3

，
△MGC中，MG=

3

，CG=2，∴MC=

3+4-2• 3 •2•(- 3 3 )

=

3

，
∴CF上的高为

3-2

=1，
∴S_△MFC=

1

2

•2

2

•1=

2

，
∵OM∥AE，AE⊥面BCFE，
∴OM⊥面BCFE，
∴S_△OGC=

1

2

•2•1=1，
∴二面角G-MF-C的平面角的余弦值为

S△OGC

S△MFC

=

1

2

=

2

2

．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查面面角的计算，考查了学生的推理论证能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．