Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=

3

．
（1）证明：PA⊥BO；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,函数的性质及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AO⊥BO，BO⊥PO，可得BO⊥平面PAO，即可证明PA⊥BO；
（2）取PB的中点E，连接AE，DE，证明∠AED是二面角A-BP-D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A-BP-D的余弦值．

解答： （1）证明：∵AB=2AO=2，BO=

3

，
∴AB²=AO²+BO²，
∴AO⊥BO，
∵P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
∴BO⊥PO，
∵AO∩PO=O，
∴BO⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，
∴PA⊥BO；
（2）解：取PB的中点E，连接AE，DE，
∵PA=2AO=2，∴PO=

3

，
∵BO⊥PO，BO⊥PO，
∴PB=

6

，
∵PD=BD=2

3

∴DE⊥PB，
∵PA=AB=2，∴AO⊥PB，
∴∠AED是二面角A-BP-D的平面角．
∵AE=

10

2

，DE=

42

2

，AD=4，
∴cos∠AED=

10 4 + 42 4 -16

2• 10 2 • 42 2

=-

105

35

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．