Question

已知数列{a_n}是等比数列，且a_n＞0，若b_n=log₂a_n，则（　　）

• A、{b_n}一定是递增的等差数列
• B、{b_n}不可能是等比数列
• C、{2b_2n-1+1}是等差数列
• D、{3bn}不是等比数列

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：设正项等比数列{ a_n }的公比为q（q＞0），由若b_n=log₂a_n，得数列{b_n}是以log₂a₁为首项，以log₂q为公差的等差数列，再根据等差数列与等比数列的定义依次判断，可得答案．

解答： 解：设正项等比数列{ a_n }的公比为q（q＞0），
则a_n=a₁q^n-1．
∴b_n=log₂ a_n=log₂a₁+（n-1）log₂q．
∴数列{b_n}是以log₂a₁为首项，以log₂q为公差的等差数列．
∵当0＜q＜1时，公差log₂q＜0，是递减数列，∴A错误；
∵当q=1时，公差为0，数列为常数列，此时数列{b_n}也是等比数列，∴B错误；
根据等差数列的性质，数列{b_n}是等差数列，则{b_2n-1}是等差数列，{2b_2n-1+1}是等差数列，故C正确．
∵数列{b_n}是等差数列，
∴

3bn+1

3bn

=3bn+1-bn=3log2q为常数，∴{3bn}是等比数列，故D错误．
故选C．

点评：本题考查了等差、等比数列的判断及等差数列的性质，判断数列{b_n}是以log₂a₁为首项，以log₂q为公差的等差数列是解答本题的突破口．