Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）连接CO，AC，由题设条件推导出四边形A₁B₁CO为平行四边形，由此能够证明A₁O∥平面AB₁C．
（Ⅱ）以O为原点，OC，OD，OD₁所在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的坐标系，利用向量法能求出锐二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，
则四边形ABCO为正方形，
∴OC=AB=A₁B₁，且OC∥AB∥A₁B₁
∴四边形A₁B₁CO为平行四边形，
∴A₁O∥B₁C，
又∵A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，
∴A₁O∥平面AB₁C．…（6分）
（Ⅱ）∵D₁A=D₁D，O为AD的中点，
∴D₁O⊥AD，又侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，
∴D₁O⊥底面ABCD，…（7分）
以O为原点，OC，OD，OD₁所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，
建立如图所示的坐标系，
由题意得：C（1，0，0），D（0，1，0），
D₁（0，0，1），A（0，-1，0），…（8分）
∴

DC

=(1，-1，0)，

DD1

=（0，-1，1），

D1A

=（0，-1，-1），

D1C1

=（1，-1，0），
设

m

=(x，y，z)为平面CDD₁C₁的一个法向量，
则

m

⊥

DC

，

m

⊥

DD1

，∴

x-y=0 -y+z=0

，
令Z=1，则y=1，x=1，∴

m

=(1，1，1)，…（10分）
设

n

=(x1，y1，z1)为平面AC₁D₁的一个法向量，
则

n

⊥

D1A

，

n

⊥

D1C1

，∴

-y1-Z1=0 x1-y1=0

，令Z₁=1，
则y₁=-1，x₁=-1，∴

n

=(-1，-1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1-1+1

3 • 3

=-

1

3

，
∴所求锐二面角A-C₁D₁-C的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．