Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段AA₁上是否存在点D？使得二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量线面角公式得到cos＜

AB1

，

n1

＞能求出直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．
（Ⅱ）先假设存在点D，然后利用向量的二面角公式进行计算．

解答： 解：（Ⅰ）如图，以AC中点为原点建立空间直角坐标系，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁=AB=2，
∴A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），
A₁（1，0，2），B1(0，

3

，2)，C₁（-1，0，2），
∴

AB1

=(-1，

3

，2)，
∵平面AA₁C₁C的一个法向量

n1

=（0，1，0），
∴cos＜

AB1

，

n1

＞=

3

8 ×1

=

6

4

，
∴直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值为

6

4

．
（Ⅱ）假设存在满足条件的点D，设AD=m，（0≤m≤2），则D（1，0，m），
设平面B₁DC的法向量

n2

=（x，y，z），
∵

CB1

=(1，

3

，2)，

CD

=(2，0，m)，
∴

n2 • CB1 =x+ 3 y+2z=0 n2 • CD =2x+mz=0

，∴

n2

=(m，

4-m

3

，-2)，
平面C₁DC的一个法向量为

n1

=(0，1，0)，
∵二面角

B

1

-DC-C1的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

4-m 3

m2+ (4-m)2 3 +4

|=

1

2

，
∵0≤m≤2，∴m=

3

2

，
∴存在点D，使得二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，此时AD=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，二查满足条件的点的存在性的判断，综合性强，难度大，解题时要注意向量法的合理运用．