Question

已知圆C1：(x+1)2+y2=16，点C₂（1，0），点Q在圆C₁上运动，QC₂的垂直平分线交QC₁于点H．
（Ⅰ）求动点H的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若曲线C与x轴交于A、B两点，过点C₁的直线交曲线C于M、N两点，记△ABM与△ABN的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由QC₂的垂直平分线交QC₁于H，可得|HQ|=|HC₂|，从而|HC₂|+|HC₁|=|HC₁|+|HQ|=|QC₁|=4＞|C₁C₂|=2，可得动点H的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆，由此能够求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|S₁-S₂|，利用基本不等式可求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵QC₂的垂直平分线交QC₁于H，
∴|HQ|=|HC₂|，
∴|HC₂|+|HC₁|=|HC₁|+|HQ|=|QC₁|=4＞|C₁C₂|=2，
∴动点H的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，直线方程为x=-1，此时△ABM与△ABN的面积相等，|S₁-S₂|=0；
当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴|S₁-S₂|=2|y₁+y₂|=2|k（x₁+x₂）+2k|=

12|k|

3+4k2

∵k≠0，∴|S₁-S₂|=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 12

=

3

，
当且仅当k=±

3

2

时等号成立，故|S₁-S₂|的最大值

3

．

点评：本题考查圆的性质和应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查韦达定理，正确运用韦达定理是关键．