Question

如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么？

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法将函数转化为一元二次函数形式，利用符合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：设t=a^x，当x≥0时，
则函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）等价为：
y=g（t）=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
对称轴t=

3a2+1

2

若a＞1，则当x≥0时，t≥1，此时函数t=a^x单调递增，
要使函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，
则g（t）在[1，+∞）单调递增，
即对称轴t=

3a2+1

2

≤1，即3a²≤1，
即0＜a＜

3

3

，此时不成立，
若0＜a＜1，则当x≥0时，则0＜t≤1，此时函数t=a^x单调递减，
要使函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，
则g（t）在0＜t≤1单调递减，
即对称轴t=

3a2+1

2

≥1，即3a²≥1，
即

3

3

≤a＜1，
即实数a的取值范围是

3

3

≤a＜1．

点评：本题主要考查符合函数单调性的应用，根据同增异减的原则是解决本题的根据，本题还使用了换元法，注意对a要进行分类讨论．