Question

如图，在长方体A BCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥AB，AF⊥A₁D．
（I）求证：A₁C⊥平面A EF；
（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）方法一，利用向量方法，方法二，利用线面垂直的性质证明：A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，根据线面垂直的判定定理，可得A₁C⊥平面A EF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AEF、平面D₁B₁BD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：方法一：∵

A1C

•

AE

=(

A1B

+

BC

)•

AE

=

BC

•

AE

=

BC

•(

AB

+

BE

)=0，

∴A₁C⊥AE，
∵

A1C

•

AF

=(

A1D

+

DC

)•

AF

=

DC

•

AF

=

DC

•(

AD

+

DF

)=0，
∴A₁C⊥AF．∴A₁C⊥平面AEF．…（6分）
方法二：∵BC⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AE．
又∵AE⊥A₁B，∴AE⊥平面A₁BC．
∵A₁C?平面A₁BC，∴AE⊥A₁C．
同理可证AF⊥A₁C．
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥平面AEF． …（6分）
（Ⅱ）解：如图，以为AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=4，AD=3，AA₁=5，得到下列坐标：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，3，0），A₁（0，0，5），B₁（4，0，5），C₁（4，3，5）D₁（0，3，5）．
由（Ⅰ）知，

A1C

=(4，3，-5)是平面AEF的一个法向量．
设平面D₁B₁BD的法向量为

a

=(x，y，0)，则

a

•

B1D1

=0．
∵

B1D1

=(-4，3，0)，∴-4x+3y=0．
令x=3，y=4，则

a

=(3，4，0)．
∴cos＜

a

，

AC

＞=

a • A1C

| a |•| A1C |

=

3×4+4×3+0×(-5)

32+42+02 × 42+32+(-5)2

=

12 2

25

．
∴sinθ=

1-( 12 2 25 )2

=

337

25

．
∴平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的正弦值为

337

25

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题．