Question

如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为2

3

的等边三角形．若AB=4，则点B到平面ACD的距离是

 

；四面体ABCD外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离,球

分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作BF⊥AE于F，说明BF就是点B到平面ACD的距离，利用三角形面积公式求出距离．作出外接球的球心，找出半径，即可求出表面积．

解答： 解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，
△BCD是边长为2

3

的等边三角形．
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
∴CD⊥AE，BE⊥CD，AE∩BE=E，CD⊥平面ABE，
可得平面ACD⊥平面ABE，
作BF⊥AE于F，则BF就是点B到平面ACD的距离，
∵AB=4，BC=2

3

，△BCD是边长为2

3

的等边三角形．∴BE=3，可得AE=5，
∴BF=

AB•BE

AE

=

12

5

．
△BCD的中心为：G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，
R=

BG2+( 1 2 AB)2

=

22+( 1 2 ×4)2

=2

2

．
四面体ABCD外接球的表面积为：4πR²=32π．
故答案为：

12

5

；32π．

点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．