Question

设点p（k，m）在以 A（1，2 ）、B（1，0）、C（-1，0）为顶点的三角形周界上运动，求抛物线y=x²-2kx+m 的顶点轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题

分析：求出线段AB、BC、AC的方程，求出抛物线的顶点坐标，由点p（k，m）在线段上得到k与m的关系，代入抛物线顶点坐标的参数方程消参后得答案．

解答： 解：∵A（1，2 ）、B（1，0）、C（-1，0），
则线段AB方程为：x=1（0≤y≤2），线段BC方程为：y=0（-1≤x≤1），
线段AC方程为：y=x+1（-1≤x≤1）．
抛物线y=x²-2kx+m 的顶点坐标为（k，m-k²），
即

x=k y=m-k2

  ①
当点p（k，m）在线段AB上时，k=1，0≤m≤2，代入①得x=1（-1≤y≤1），
∴抛物线y=x²-2kx+m 的顶点轨迹方程为x=1（-1≤y≤1）；
当点p（k，m）在线段BC上时，m=0，-1≤k≤1，代入①得

x=k y=-k2

，(-1≤k≤1)，
整理得：y=-x² （-1≤x≤1）；
当点p（k，m）在线段AC上时，m=k+1（-1≤k≤1），代入①得：

x=k y=1+k-k2

，(-1≤k≤1)，即y=-x²+x+1（-1≤x≤1）．
综上，当点p（k，m）在线段AB上时，抛物线y=x²-2kx+m 的顶点轨迹方程为x=1（-1≤y≤1）；
当点p（k，m）在线段BC上时，抛物线y=x²-2kx+m 的顶点轨迹方程为y=-x² （-1≤x≤1）；
当点p（k，m）在线段AC上时，抛物线y=x²-2kx+m 的顶点轨迹方程为y=-x²+x+1（-1≤x≤1）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了消参法求曲线方程，是有一定难度题目．