Question

若不等式4x²+9y²≥2^kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行转化为基本不等式形式，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．

解答： 解：不等式4x²+9y²≥2^kxy对一切正数x，y恒成立，
则等价为

4x2+9y2

xy

=

4x

y

+

9y

x

≥2k恒成立，
∵

4x

y

+

9y

x

≥2

4x y ? 9y x

=2×6=12当且仅当

4x

y

=

9y

x

，
即2x=3y时取等号，
∴要使

4x2+9y2

xy

=

4x

y

+

9y

x

≥2k恒成立，
则2^k≤12，
∵k是整数，
∴整数k的最大值为3，
故答案为：3．

点评：本题注意考查不等式恒成立，利用基本不等式的解法是解决本题的关键．