Question

已知函数f(x)=

-x2+x，x≤0 ln(x+1)，x＞0

，若|f（x）|≥ax恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分x＞0，x≤0两种情况进行讨论，x＞0时可知要使不等式恒成立，须有a≤0；x≤0时，再分x=0，x＜0两种情况讨论，分离参数a后化为函数最值可求，注意最后对a范围取交集．

解答： 解：（1）当x＞0时，ln（x+1）＞0，要使|f（x）|=ln（x+1）≥ax恒成立，则此时a≤0．
（2）当x≤0时，-x²+2x≤0，则|f（x）|=x²-x≥ax，
若x=0，则左边=右边，a取任意实数；
若x＜0，|f（x）|=x²-x≥ax可化为a则有a≥x-1，此时须满足a≥-1．
综上可得，a的取值为[-1，0]，
故答案为：[-1，0]．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题常常转化为函数最值解决．