Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件知直线AB的方程为x=-y+

p

2

，代入抛物线方程，得y²+2py-p²=0，由线段AB的中点的纵坐标为-2，推导出y₁+y₂=-2p=-4，由此能求出结果．

解答： 解：∵抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，
∴直线AB的方程为：y=-x+

p

2

，
∴x=-y+

p

2

，
把x=-y+

p

2

代入抛物线方程，
整理得y²+2py-p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-2p，
∵线段AB的中点的纵坐标为-2，
∴y₁+y₂=-4，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
∴该抛物线的准线方程为x=-1．
故答案为：x=-1．

点评：本题考查抛物线的准线方程的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．