Question

已知A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若

OA

=2

OB

+x

OC

，则正实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，2]
• B、[1，3]
• C、[2，4]
• D、[3，5]

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：由

OA

=2

OB

+x

OC

，利用数量积性质可得

OA

2=(2

OB

+x

OC

)2，展开并利用A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，及cosθ的有界性，即可得出正实数x的取值范围．

解答： 解：∵A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若

OA

=2

OB

+x

OC

，
∴

OA

2=(2

OB

+x

OC

)2，
∴

OA

2=4

OB

2+x2

OC

+4x

OB

•

OC

，化为1=4+x²+4xcos∠BOC．
∵x＞0，
∴cos∠BOC=

-3-x2

4x

，
∵-1≤cos∠BOC≤1，
∴-1≤

-3-x2

4x

＜0，
解得1≤x≤3．
∴正实数x的取值范围为[1，3]．
故B．

点评：本题考查了数量积的性质、余弦函数的有界性、单位向量、不等式的解法，属于中档题．