Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为P（x₁，y_1），Q（x₂，y₂）两点之间的“折线距离”，则椭圆

x2

2

+y2=1上一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,新定义,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据新定义，利用参数法，表示出椭圆

x2

2

+y2=1上一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”，然后分类讨论求出最小值．

解答： 解：设直线3x+4y-12=0上的任意一点坐标（x，3-

3

4

x），椭圆

x2

2

+y2=1上任意一点的坐标为（

2

cosθ，sinθ）
由题意可知：d=|x-

2

cosθ|+|3-

3

4

x-sinθ|
分类讨论：
①x≥4-

4

3

sinθ，d=x-

2

cosθ-3+

3

4

x+sinθ=

7

4

x-3-

2

cosθ+sinθ≥4-

2

cosθ-

4

3

sinθ
=4-

34

3

sin（θ+α）≥

12- 34

3

②4-

4

3

sinθ＞x＞

2

cosθ解同上
③x≤

2

cosθ，d=-（x-

2

cosθ-3+

3

4

x+sinθ）=-（

7

4

x-3-

2

cosθ+sinθ）≥-

3 2

4

cosθ-sinθ+3
=3+

34

4

sin（θ+β）≥

12- 34

4

．
∴椭圆

x2

2

+y2=1上一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”的最小值为

12- 34

4

．
故答案为：

12- 34

4

．

点评：本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．