Question

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为

5

-1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=

π

2

．求证：原点O到直线AB的距离为定值．
（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）根据题意设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．再利用已知条件求出a，b的值即可．
（2）设原点O到直线AB的距离为d，则由题设及面积公式知d=

|OA|•|OB|

|AB|

．分情况讨论．当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，解得d=

2 5

3

．当直线OA的斜率k存在且不为0时，设直线方程为y=kx．与椭圆方程联立解得A，B两点的坐标，利用d=

|OA|•|OB|

|AB|

．化简即可得到d=

2 5

3

．
（3））d为定值，所以求AB的最小值即求OA•OB的最小值．求AB的最小值即求OA•OB的最小值OA²•OB²=

k2+ 1 k2 +2

1 20 k2+ 1 20k2 + 41 400

．利用基本不等式即可求出AB的最小值．

解答： 解：（1）由题意，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
则

a-c= 5 -1 b=2 a2=b2+c2

，
解得

a= 5 b=2 c=1

．
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）设原点O到直线AB的距离为d，
则由题设及面积公式知d=

|OA|•|OB|

|AB|

．
①当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，
有

|OA|= 5 |OB|=2

或

|OB|= 5 |OA|=2

．
则|AB|=

4+5

=3．
∴d=

2 5

3

．
②当直线OA的斜率k存在且不为0时，
则联立方程，得

x2 5 + y2 4 =1 y=kx

．
∴

x2

5

+

k2x2

4

=1．

解得

xA2= 1 1 5 + k2 4 yA2= k2 1 5 + k2 4

或

xB2= 1 1 5 + 1 4k2 yB2= 1 k2 1 5 + 1 4k2

在Rt△OAB中，
d2=

|OA|2•|OB|2

|AB|2

=

|OA|2•|OB|2

|OA|2+|OB|2

．

则

1

d2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1 5 + k2 4

1+k2

+

1 5 + 1 4k2

1+ 1 k2

=

1 5 + k2 4

1+k2

+

k2 5 + 1 4

1+k2

=

( 1 4 + 1 5 )k2+( 1 4 + 1 5 )

1+k2

=

1

4

+

1

5

=

9

20

．
∴d=

2 5

3

．
综上，原点O到直线AB的距离为定值

2 5

3

．
（3）∵d为定值，
∴求AB的最小值即求OA•OB的最小值．
OA2•OB2=

(1+k2)•(1+ 1 k2 )

( 1 5 + k2 4 )•( 1 5 + 1 4k2 )

=

k2+ 1 k2 +2

1 20 k2+ 1 20k2 + 41 400

令t=k2+

1

k2

，则t≥2，
于是OA2•OB2=

t+2

1 20 t+ 41 400

=20•

20t+40

20t+41

=20(1-

1

20t+41

)

∵t≥2，
∴OA2•OB2≥20(1-

1

81

)=

1600

81

，
当且仅当t=2，即k=±1时，
OA•OB取得最小值

40

9

，
∴ABmin=

40 9

2 5 3

=

4 5

3

．
∴A的最小值为

4 5

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆相结合的问题，利用基本不等式求最值等知识．属于难题．