Question

给出以下三个关于x的不等式：①x²-4x+3＜0，②

3

x+1

＞1，③2x²+m²x+m＜0．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：分别求得①、②的解集，可得它们的并集，由题意可得，方程2x²+m²x+m=0的两个实数根都在区间[-1，3]内，令f（x）=2x²+m²x+m，则由题意可得

f(-1)≥0 f(3)≥0 -1＜- m2 4 ＜3 △=m4-8m＞0

，由此求得m的范围．

解答： 解：由：①x²-4x+3＜0可得1＜x＜3；由②

3

x+1

＞1可得

x-2

x+1

＜0，即-1＜x＜2；
由③2x²+m²x+m＜0的解集非空，可得△=m（m³-8）＞0，即m＞2，或 m＜0．
①②解集的并集为（-1，3），故方程2x²+m²x+m=0的两个实数根都在区间[-1，3]内，
令f（x）=2x²+m²x+m，则由题意可得

f(-1)≥0 f(3)≥0 -1＜- m2 4 ＜3 △=m4-8m＞0

．
解得-1≤m＜0，
故答案为[-1，0）．

点评：本题主要考查集合的运算及分式不等式、一元二次不等式的基本解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．