Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，求：
（1）异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小；
（2）直线B₁C₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意可得∠A₁CB（或其补角）即为异面直线B₁C₁与A₁C所成的角，解三角形可得；
（2）可证B₁C₁∥平面A₁BC，则B₁到平面A₁BC的距离h即为所求，由等体积法可得VB1-A1BC=VC-A1BB1，代入数据计算可得．

解答： 解：（1）由题意可得BC∥B₁C₁，
∴∠A₁CB（或其补角）即为异面直线B₁C₁与A₁C所成的角，
由题意可知BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥A₁B，
∴△A₁BC为直角三角形，
∴tan∠A₁CB=

A1B

BC

=

AB2+BB12

BC

=

5

，
∴异面直线B₁C₁与A₁C所成的角为arctan

5

；
（2）∵BC∥B₁C₁，BC?平面A₁BC，B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，
∴直线B₁C₁上任意一点到平面A₁BC的距离均为直线B₁C₁到平面A₁BC的距离，
不妨取B₁，且设B₁到平面A₁BC的距离为h，
由等体积法可得VB1-A1BC=VC-A1BB1，即

1

3

S△A1BC×h=

1

3

S△ABB1×BC
代入数据可得

1

3

×

1

2

×1×

5

×h=

1

3

×

1

2

×2×1×1，解得h=

2 5

5

∴直线B₁C₁到平面A₁BC的距离为

2 5

5

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．