Question

已知函数f(x)=

1

2

λsinωx+

3

2

λcosωx(λ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，其中点为最高点，点为图象与轴的交点，在△ABC中，角A，B，C对边为a，b，c，b=c=

3

，且满足(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0，以及正弦定理可得：B的余弦函数值，求出B，A，C．然后求出函数的最大值以及函数的周期，即可求出函数的表达式，求出三角形的面积．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间求出函数的增区间即可．

解答： 解：（Ⅰ）由(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0，
以及正弦定理可得：2cosBsinC-

3

sinAcosB-

3

cosAsinB=0，
可得2cosB-

3

=0，
∵B是三角形内角，
∴B=

π

6

，
∵b=c=

3

，
∴C=

π

6

，A=

2π

3

，

1

2

BC=bcos

π

6

=

3

×

3

2

，BC=3，
S△ABC=

1

2

BC•csinB=

1

2

×

3

×3×sin

π

6

=

3 3

4

．
（Ⅱ）由f(x)=

1

2

λsinωx+

3

2

λcosωx=λsin(ωx+

π

3

)，
由（Ⅰ）可知：T=6，A=ABsin

π

6

=

3

2

，
∴λ=

3

2

，ω=

2π

T

=

π

3

，
∴f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤

π

3

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒6k-

5

2

≤x≤6k+

1

2

．k∈Z．
∴函数y=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）．
的单调递增区间：[6k-

5

2

，6k+

1

2

]，k∈Z．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的单调性，属于中档题．